Please download to get full document.

View again

of 8
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.

ЛЕКЦИЯ 25 Устойчивость продольно сжатых стержней

Category:

Devices & Hardware

Publish on:

Views: 27 | Pages: 8

Extension: PDF | Download: 1

Share
Related documents
Description
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ ЛЕКЦИЯ 5 Устойчивость продольно сжатых стержней 1 Понятие об устойчивости форм равновесия. Критическая сила Под устойчивостью механической системы вообще
Transcript
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ ЛЕКЦИЯ 5 Устойчивость продольно сжатых стержней 1 Понятие об устойчивости форм равновесия. Критическая сила Под устойчивостью механической системы вообще следует понимать свойство сохранять свое исходное состояние при внешнем воздействии. Рис. 1 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 013 Рис. Исходная прямолинейная форма продольно сжатого стержня (как форма его упругого равновесия) считается устойчивой, если деформации, вызванные приложением бесконечно малой поперечной силы, исчезают после ее удаления. Исходная прямолинейная форма продольно сжатого стержня является неустойчивой, если приложение бесконечно малой поперечной силы сопровождается развитием больших упруго-пластических деформаций или разрушением стержня (т.е. образованием новых форм равновесия и невозможностью возврата к исходной форме равновесия при снятии поперечного возмущения). Критической силой называется такое значение продольной сжимающей силы, при котором исходная прямолинейная форма упругого равновесия стержня из устойчивой превращается в неустойчивую. Расчеты и опыты показывают, что для достаточно длинных стержней F, т.е. потеря устойчивости происходит до разрушения от T появления напряжений текучести. По этой причине предельным значением продольного сжимающего усилия для стержней следует считать В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ Р, а не Р пред = Т F = B F. И в этом случае говорят о необходимости производства расчета не на прочность, а на устойчивость. При производстве расчетов на устойчивость рабочая нагрузка определяется как часть итической: или ny, (1) ny где n y 1 - запас устойчивости. Тогда условие устойчивости приобретает вид: ny n y, где n y допускаемый запас устойчивости (задаётся). В такой постановке задачи устойчивости основной проблемой является проблема определения величины итической силы. Задача йлера Дано: E, I y,, Определить: при каких условиях возможно равновесие стержня со слегка изогнутой продольной осью (т.е. в начале потери устойчивости). Таким образом, предстоит определить значение силы Р и форму упругой линии стержня. Как известно, приближенное дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид: Рис. 3 x x EI z M y. () 4 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 013 Отметим следующее: 1) Уравнение () справедливо только при z ; ) Уравнение () получено с использованием закона Гука, следовательно, полученные результаты справедливы только при ; пц 3) В уравнении () I y = I, т.к. изгиб стержня при потери устойчивости происходит в плоскости минимальной жесткости. Из рисунка видно, что M y x z (3) Тогда или или EI z x z z x x z x EI x z z 0. (4) EI В: Обозначим EI Тогда x k zx 0 k. (5) z. (6) Решением этого дифференциального уравнения является x z 1 C sinkx C coskx (7) Постоянные С 1 и С определяют из граничных условий на опорах А и 1) на опоре А, т.е. при х = 0 z = 0 и 0=С 1 0+С 1, откуда С = 0; ) на опоре В, т.е. при x = z = 0, тогда 0 = С 1 sin k. (8) В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ то уравнение может быть удовлетворено при двух условиях: а) С 1 = 0 и тогда (7) приобретает вид z(x) = 0, т.е продольная ось стержня прямолинейна. Очевидно, что тот случай нас не интересует. б) sin k = 0, (9) где n произвольное целое число. Из (10) (5), получаем и т.е. k = n, (10) EI k n, или с учетом уравнения n (11) n EI. (1) При этом уравнение упругой линии будет иметь вид: x zx C1 sin n. (13) Из (1) следует, что для сохранения иволинейной формы равновесия сила Р должна принимать строго определенные значения. Наименьшая отличная от 0 сила Р будет иметь величину EI. (14) та сила называется первой итической или силой йлера. При этом значении силы упругая линия имеет вид: Рис. 4 6 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 013 x zx C1 sin, (15) т.е. стержень изгибается по полуволне синусоиды. При наличии промежуточных подеплений число n может быть другим. Очевидно, что для получения n волн (при условии подепления) следует приложить n : (n=) 4 Рис. 5 (n=3) 3 9 ер Очевидно, что при производстве расчетов на устойчивость нас не могут интересовать значения Р и Р 3 и т.д., т.к. при начинается развитие больших деформаций, что приводит к необходимости пересмотра полученных результатов. 3 Зависимость от условий заепления стержня Как было сказано выше, в пределах малых перемещений изгиб стержня происходит по полуволне синусоиды и итическая сила определяется по формуле йлера. В этой формуле в качестве длины 0 должна приниматься длина полуволны синусоиды. Очевидно, что она поразному связана с фактической длиной в зависимости от условий заепления стержня: В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ Рис. 6 Учет способа заепления производится путем введения в расчет приведенной длины 0 = v: = 0 0 = 0 = 0,5 0 = 0,7 v = 1 v = v = 0,5 v = 0,7 Именно это значение длины необходимо подставлять в формулу йлера, т.е. для учёта способа заепления концов стержня необходимо пользоваться формулой: EI EI 0 v, (16) v коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа епления 0 v (17) 4 Пределы применимости формулы йлера Так как при выводе формулы () был использован закон Гука, то, следовательно, формула йлера применима при 8 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ пц, (18) где итические напряжения, пц предел пропорциональности: Вспомним, что Тогда Р F I E пц. F I i минимальный радиус инерции. (19) F Ei пц или v Введем обозначение v i и назовем ее гибкостью стержня. Тогда v i E пц (0). E пц E пц. (1) Величину E пред называют предельной гибкостью пц материала. Тогда условия применимости формулы йлера приобретает вид или v i пред () E. (3) пц
Similar documents
View more...
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks