Please download to get full document.

View again

of 10
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.

ИНФОРМАТИКА 2012 январь-март 1

Category:

Finance

Publish on:

Views: 0 | Pages: 10

Extension: PDF | Download: 0

Share
Related documents
Description
ИНФОРМАТИКА январь-март УДК 54.6 Н.Н. Киселева, Г.Ч. Шушкевич ЭКРАНИРОВАНИЕ ПЛОСКИМ ПРОНИЦАЕМЫМ СЛОЕМ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ СФЕРИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ, РАСПОЛОЖЕННОГО ВНУТРИ ТОНКОЙ НЕЗАМКНУТОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Transcript
ИНФОРМАТИКА январь-март УДК 54.6 Н.Н. Киселева, Г.Ч. Шушкевич ЭКРАНИРОВАНИЕ ПЛОСКИМ ПРОНИЦАЕМЫМ СЛОЕМ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ СФЕРИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ, РАСПОЛОЖЕННОГО ВНУТРИ ТОНКОЙ НЕЗАМКНУТОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ Предлагается аналитическое решение граничной задачи, описывающей процесс проникновения звукового поля сферического излучателя, который расположен внутри незамкнутой сферической оболочки, через плоский проницаемый слой. Численно исследуется влияние некоторых параметров задачи на значение коэффициента ослабления звукового поля. Введение Исследование распространения звуковых волн в многослойных средах играет большую роль в сейсмологии, сейсморазведке, акустике океана, медицинской диагностике (дефектоскопии) [ 4], а также в конструировании многослойных звукопоглощающих панелей для защиты от шума и вибрации [5 7]. Библиография по решению задач рассеяния весьма обширна. Упомянем лишь некоторые работы, имеющие отношение к данной теме исследования. Задача о дифракции звуковых волн на телах конечных размеров, находящихся в полупространстве, рассмотрена в [8]. Метод решения основывается на использовании амплитуды рассеяния включения. В настоящей статье приводятся работы, в которых применяются численные и асимптотические методы решения подобных задач. В работах [9, ] исследуются двухмерные задачи рассеяния звукового поля на импедансной границе раздела двух сред. Приближенное решение задачи о распространении звукового поля в трехслойном пространстве с плоскими границами разделов сред получено в []. Методом стационарной фазы исследуется акустическое поле в волноводе Пекериса [] с поглощающим дном []. Построение точного решения о проникновении звукового поля диполя через плоский слой рассматривается в [4]. В [] получены новые граничные условия, которые можно использовать для моделирования процесса проникновения акустических волн через тонкостенные упругие оболочки. В настоящей работе построено точное осесимметричное решение задачи о проникновении звукового поля через плоский проницаемый слой. В качестве источника поля рассматривается сферический излучатель, расположенный внутри тонкой незамкнутой сферической оболочки. С помощью соответствующих теорем сложения [4] решение поставленной задачи сведено к решению парных сумматорных уравнений по полиномам Лежандра, которые преобразуются к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) второго рода с вполне непрерывным оператором.. Постановка задачи и представление решения R разделено плоскостями Пусть все пространство z h Γ z= h h на три области D, D, D (рис. ). В области D находится идеально тонкая незамкнутая сферическая оболочка S с углом раствора θ, расположенная на сфере S радиуса a с центром в точке O. В точке O расположен сферический излучатель с круговой частотой ω. Области D, =,,, заполнены материалом, в котором не распространяются сдвиговые волны. Плотность среды и скорость звука в области D, =,,, обозначим соответственно через ρ, c. Область пространства, ограниченную сферой S, обозначим через D. Для решения задачи свяжем с точкой O (центром оболочки S ) сферические координаты {, r θ, ϕ }: x= rcosϕsi θ, y = rsi ϕsi θ, z = rcosθ, где r , θ π, ϕ π, Γ = и ЭКРАНИРОВАНИЕ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ СФЕРИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ 67 и цилиндрические координаты {, ρ ϕ, z} : x = ρcos ϕ, y = ρsi ϕ, z= z, где ρ , ϕ π, z . Рис.. Геометрия задачи Сферическая оболочка S и плоскости Γ и Γ описываются следующим образом: z h S = { r = a, θ θ π, ϕ π } Γ = { =, ρ , ϕ π } p давление рассеянного зву- Обозначим через кового поля в области p c давление исходного звукового поля, D, =,,,. Постановка задачи. Найти давления уравнению Гельмгольца Γ = { z = h h, ρ , ϕ π }. p, =,,,, удовлетворяющие: p Δ p + =, где Δ= + + оператор Лапласа =ω / c волновое число, = x y z граничному условию на поверхности сферической оболочки S (акустически мягкой оболочки) ( pc p ) p S S + = = () граничным условиям на проницаемой плоскости Γ p = p, Γ Γ p p = ρ ρ Γ Γ, () где нормаль к поверхности Γ граничным условиям на проницаемой плоскости Γ p = p, Γ Γ где нормаль к поверхности Γ p p = ρ ρ Γ Γ, () 68 Н.Н. КИСЕЛЕВА, Г.Ч. ШУШКЕВИЧ условию на бесконечности [4, 8] p ( M) lim r ip( M) = r M, =,,, (4) где M произвольная точка пространства. Потребуем выполнения также условий непрерывности давления на поверхности сферы S и производной по нормали S\S : p + p = p (5) c S S где нормаль к поверхности S\S. Реальные звуковые давления вычисляются по формуле [4] P pc + p p =, (6) S\ S i t ( ) S\ S = Re p e ω, =,,,. Давление исходного звукового поля представим в виде ряда по сферическим волновым функциям [4, 8]: i r e () () c r = p = P = i Ph ( r) = i P δ h ( r) P ( cosθ), (7) () где h ( r ) сферические функции Ханкеля P ( cos ) θ полиномы Лежандра [6] δ символ Кронекера P cost [5] i мнимая единица. Представим давление p рассеянного звукового поля в области D, =,,,, в виде суперпозиции базисных решений уравнения Гельмгольца, принимая во внимание условие на бесконечности (4): () ( r) ( θ) в ( ξ) p r, θ = P x P cos = p = p r, θ + p ρ, z в D, () h ( r) ( θ), = h ( ξ) θ = () p r, P y P cos D (8) v( z+ h) (, ) v ( z+ h ) v ( z+ h + h ) p ρ z = P a λ J λρ e λdλ (9) в p P b J e d P J e d = λ λρ λ λ+ γ λ λρ λ λ v ( z+ h+ h) ( ρ, ) = ( λ) ( λρ) λ λ в p z P c J e d где ( x ) сферические функции Бесселя первого рода J x функции Бесселя первого ро- да [6] ξ= a v = λ, =,,. Неизвестные коэффициенты x, лению из граничных условий. y и функции a( λ ), b,, c D () D, () λ γ λ λ подлежат опреде- ЭКРАНИРОВАНИЕ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ СФЕРИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ 69. Выполнение граничных условий ( ) Для выполнения граничных условий (), (5), (6) представим функцию p ρ, z через сферические волновые функции. Для этого используем формулу, которая связывает цилиндрические и сферические волновые функции [4]: iv J e i P r P =, vz ( λρ ) = ( + ) ( cosθ) v= λ, π/ arg v π /. Тогда ( p ) ( r, θ ) = P d ( r) P ( cosθ), () = vh iv d = i + λa λ e P dλ, где v = λ. () Выполним граничное условие (5). Принимая во внимание представления (7), (9) () и учитывая ортогональности полиномов Лежандра на отрезке [, π ], получим () i δ h ξ + x = y + d ξ, =,,.... (4) Выполним граничное условие () на поверхности сферической оболочки S и условие непрерывности (6). В полученных уравнениях исключим коэффициенты x с помощью представления (4) и, принимая во внимание вронскиан функций ( x ), () i W h ( x), ( x) =, x получим парные сумматорные уравнения по полиномам Лежандра вида h () ( x )[6] yp ( cosθ= ) d( ξ) P( cos θ), θ θ = = y P( cos θ) δ P( cosθ) () = i, θ θ π. = ξ h ξ = ξ (5) Для преобразования парных уравнений (5) введем в рассмотрение новые коэффициенты T по формуле и параметр ( ) y = i δ h a + + T a h a, =,,..., (6) ( ) g = iξ + ξ h ξ, =,,.... (7) Из асимптотических представлений [6] для функций ( x ), следует, что g O( ) =. h () ( x ) при x,, 7 Н.Н. КИСЕЛЕВА, Г.Ч. ШУШКЕВИЧ C учетом представлений (6), (7) парные сумматорные уравнения (5) преобразуются к виду () g TP cosθ = iξ i δh ( ξ ) + d( ξ) P ( cos θ), θ θ = = ( + ) TP( cos θ) =, θ θ π. = (8) С помощью интегральных представлений Мелера Дирихле для полиномов Лежандра P ( cosθ ) [7] парные сумматорные уравнения (8) преобразуются к бесконечной СЛАУ второго рода с вполне непрерывным оператором [8]: (),,,,..., T g Q T = iξ i δ h ξ + d ξ Q s s s = = s = (9) где Q s ( s) ( s ) si θ si + + θ = +, π s + s+ si ( s) θ = θ s r θ через цилин- Для выполнения граничных условий (), () представим функцию дрические волновые функции, используя формулу [4] = s. p ( ), () i iv vz ( cosθ ) = ( λρ) λ λ v, h r P P J e d v= λ, π/ arg v π /, z . Тогда () vz p ρ, z = P D λ J λρ λe dλ, z , () где. () ξ i iv D( λ ) = P () y v = h Принимая во внимание представления (9) (), (), выполняя граничные условия (), (), а также в силу единственности интегрального преобразования Ханкеля получим систему линейных уравнений вида vh vh a λ b λ e γ λ = e D λ va λ + vρb λ vρe γ λ = ve Dλ vh e b( λ ) +γ( λ) c( λ ) = vh ve b( λ) vγ( λ) vρc( λ ) =, vh vh () ρ где ρ = ρ ρ =. ρ, ρ ЭКРАНИРОВАНИЕ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ СФЕРИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ 7 Решая систему (), находим выражения для функций a( λ ), b( λ), γ( λ ), c λ : ( λ ) = ( λ) ( λ ) b( λ ) = W ( λ) D( λ ) γ( λ ) = W ( λ) D( λ ) c W D a W D 4 где ( λ ) = ( λ ) = ( λ ) = Δ Δ Δ W Δ W Δ W Δ W 4 Δ λ = Δ vh vh ( e ) v( v v) ( e )( v ) vv vh vh v h Δ= + ρ ρ + + ρ + ρ Δ = e e v v v e vv v + ρ ρ + ρ ρ vh vh + vh vh vh Δ = e v vρ + v Δ = e v vρ v Δ 4 = 4vve. В () вместо коэффициентов y подставим (6) и получим λ = λ λ, () iv iv D( λ ) = i P ( ) i T P v δ + + ξ =. (4) Полученный результат подставим в (4) и установим связь между функцией a( λ ) и коэффициентами T : ( λ) ( ). (5) W iv iv λ = δ + + ξ a i P i T P v = Согласно формуле (5) из () следует связь между коэффициентами d и T : () + d ( ) ( ) = + i I i T ξ I, (6) = 4 где () W ( λ) iv vh I = P e λdλ v W ( λ) iv iv vh I = P P e λdλ. v Преобразуем правую часть системы (9). Для этого исключим из правой части системы коэффициенты d, используя представление (6), и получим бесконечную СЛАУ второго рода относительно коэффициентов T : () () +, s,,... T + β g Q T = ξ δ h ξ ξ + i I ξ Q s s s s = = =, (7) p i I Q. где ( ) ( ) + β =ξ + ξ + p ( ξ) s p p sp p= p, =,,, вычисляются через реше- Учитывая (6), () и (4), вторичные давления ние СЛАУ (7) по следующим формулам: () () = p r, θ = Pih () ( ξ ) + P ( + ) T ( a) h ( ξ) P( cosθ) ( ) p ( ρ, z) = PJ ( ρ, z) + P ( + ) i T ( ξ) J ( ρ, z) в D = 7 Н.Н. КИСЕЛЕВА, Г.Ч. ШУШКЕВИЧ ( ρ, ) = ( ( ρ, ) + ( ρ, )) + ( + ) ( ξ) ( ( ρ, ) + ( ρ, )) в = p z P J z J z P i T J z J z p( ρ, z) = PJ4 ( ρ, z) + P ( + ) i T ( ξ) J4 ( ρ, z) в D, где = v ( h + z) iv J( ρ, z) = W λ J λρ e λp dλ v( z+ h) iv J (,) ρ z = W λ J λρ e λp dλ v( z+ h+ h) iv J(, ρ z) = W λ J λρ e λp dλ ( + + ) iv 4. v z h h J 4 ρ, z = W λ J λρ e λp dλ Коэффициент ослабления звукового поля в области D вычисляется по формуле. Вычислительный эксперимент K( ρ, z) = p ( ρ, z) / p, z h + h. c Используя систему компьютерной алгебры MathCAD [9], были проведены вычисления коэффициента ослабления звукового поля в области D для различных параметров задачи. Бесконечная система (6) решалась методом усечения [8]. Кроме того, для получения достоверного решения СЛАУ (7) необходимо было проверить обусловленность системы. Матрица, соответствующая системе, считается хорошо обусловленной, если число обусловленности матрицы []. Для вычисления числа обусловленности матрицы в системе MahtCAD использовались встроенные функции cod (число обусловленности в норме L []), cod (в норме L ) и code (в евклидовой норме). Вычислительный эксперимент показал, что порядок усечения для рассмотренных параметров задачи можно взять равным 5. Это обеспечивает 4 решение системы (7) с точностью и число обусловленности не будет превосходить 5. Несобственные интегралы вычислялись приемами, предложенными в [], с использованием адаптивного (Adaptive) метода []. Величина v, =,,, которая входит в представления (9) (), вычислялась по формуле D v λ, λ = i λ, λ . На рис., а изображены графики коэффициента ослабления звукового поля K(, z ), z h + h, для различных значений углов раствора θ сферической оболочки S : θ = 6 (), θ = 75 (), θ = (), θ = (4), если области D, D заполнены воздухом ( ρ=ρ=,5 кг / м, c= c= 4 м /c), область D пробкой ( ρ = 4 кг / м, c = 5 м /c [, 4]), h =,5м, h =,м, a =,5 м, f = Гц, ω = π f. На рис., б показаны графики коэффициента ослабления звукового поля K(, z ), z h + h, для различных значений углов раствора θ сферической оболочки S, если об- ЭКРАНИРОВАНИЕ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ СФЕРИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ 7 ласть D заполнена воздухом, область D машинным маслом ( ρ =, 9 кг / м c = 9 м /c), область D морской водой ( ρ = кг / м, c = 5 м /c [, 4]), h =,5м, h =,5м, a =, м, f = 5 Гц. а) б) Рис.. Графики коэффициента ослабления звукового поля K(, z ) для различных значений углов раствора θ сферической оболочки S На рис., а представлены графики коэффициента ослабления звукового поля K(, z ), z h + h, для различных значений частоты звука f : f = 75 Гц (), f = Гц (), f = 5 Гц (), f = 5 Гц (4), если области D, D заполнены воздухом, область D пробкой, h =, м, h =, м, a =, м, θ= 9. а) б) Рис.. Графики коэффициента ослабления звукового поля K(, z ) для различных значений частоты звука f На рис., б даны графики коэффициента ослабления звукового поля K(, z ), z h + h, для различных значений частоты звука f, если область D заполнена воздухом, область D машинным маслом, область D морской водой, h =,5м, h =,5м, a =, м, θ= 9. Заключение В настоящей работе задача о проникновении звукового поля через плоский проницаемый слой сведена к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений второго 74 Н.Н. КИСЕЛЕВА, Г.Ч. ШУШКЕВИЧ рода с вполне непрерывным оператором. В качестве источника звукового поля рассматривается сферический излучатель, расположенный внутри тонкой незамкнутой сферической оболочки. Численно исследовано влияние геометрических параметров задачи, плотности сред и скорости звука на значение коэффициента ослабления поля. Разработанная методика и программное обеспечение могут найти практическое использование в задачах экранирования звуковых полей. Список литературы. Бреховских, Л.М. Волны в слоистых средах / Л.М. Бреховских. М. : Наука, с.. The th Iter. Cof. o Theoretical ad Computatioal Acoustics [Electroic resource]. Mode of access : Date of access : Acoustical Society of America [Electroic resource]. Mode of access : Date of access : Ерофеенко, В.Т. Основы математического моделирования / В.Т. Ерофеенко, И.С. Козловская. Минск : БГУ,. 96 с. 5. Абракитов, В.Э. Многослойная ограждающая панель / В.Э. Абракитов, В.А. Руссова [Электронный ресурс]. Режим доступа : Дата доступа : III Всерос. науч.-практ. конф. с междунар. участием «Защита населения от повышенного шумового воздействия» [Электронный ресурс]. Режим доступа : Дата доступа : Иванов, Н.И. Инженерная акустика. Теория и практика борьбы с шумом / Н.И. Иванов. М. : Логос, с. 8. Зацерковный, А.В. Использование амплитуды рассеяния для решения задач дифракции волн в полупространстве / А.В. Зацерковный, В.А. Сергеев, Б.П. Шарфарец // Акустический журнал.. Т. 47, 5. С Отражение сферической волны на импедансной границе раздела двух сред : электронное научно-техническое издание «Наука и образование» / Б.А. Касаткин [и др.] [Электронный ресурс]. Режим доступа : Дата доступа : Ochma, M. The full-field equatio for acoustic radiatio ad scatterig / M. Ochma // J. Acoust. Soc. Amer Vol. 5, 5. P Лапин, Д.А. Звуковое поле в жидком волноводе от монопольного и дипольного источников, расположенных в граничащем с волноводом твердом полупространстве / Д.А. Лапин // Акустический журнал. 99. Т. 9, 5. С Ластовенко, О.Р. Решение для импульсной характеристики волновода Пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы / О.Р. Ластовенко, В.А. Лисютин, А.А. Ярошенко // Акустический вестник. 9. Т.,. С Ерофеенко, В.Т. Моделирование двухсторонних граничных условий для акустических волн на упругом экране / В.Т. Ерофеенко // Весцi НАН Беларусі. Сер. фiз.-мат. навук.. 4. С Ерофеенко, В.Т. Теоремы сложения / В.Т. Ерофеенко. Минск : Наука и техника, с. 5. Шендарев, Е.Л. Излучение и рассеяние звука / Е.Л. Шендарев. Л. : Судостроение, с. 6. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М. : Наука, с. 7. Шушкевич, Г.Ч. Расчет электростатических полей методом парных, тройных уравнений с использованием теорем сложения / Г.Ч. Шушкевич. Гродно : ГрГУ, с. 8. Иванов, Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах / Е.А. Иванов. Минск : Наука и техника, с. 9. Шушкевич, Г.Ч. Компьютерные технологии в математике. Система Mathcad 4. Ч.. / Г.Ч. Шушкевич, С.В. Шушкевич. Минск : Изд-во Гревцова,. 87 с. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ СФЕРИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ 75. Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. М. : Мир, с.. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов / В.М. Вержбицкий. М. : Высшая школа,. 848 с.. Numerical itegratio [Electroic resource]. Mode of access : Numerical_itegratio#Adaptive_algorithms. Date of access : Обзор : Скорость звука в газах, жидкостях и твердых телах. Гц. Краткая таблица. Продольная волна [Электронный ресурс]. Режим доступа : Guide/GuidePhysics/Soud/SoudSpeedTable. Дата доступа : Обзор : Таблица. Плотность веществ, продуктов, жидкостей и газов при атмосферном давлении. Состояние вещества. Английские наименования [Электронный ресурс]. Режим доступа : Дата доступа : 9... Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, Гродно, Ожешко, Поступила.. N.N. Kiselyova, G.Ch. Shushevich SHIELDING OF SOUND FIELD OF SPHERICAL RADIATOR LOCATED INSIDE A THIN UNCLOSED SPHERICAL SHELL BY THE FLAT PENETRABLE LAYER The aalytical solutio of boudary problem describig process of peetratio of the soud field of a spherical radiator located iside a thi uclosed spherical shell through the flat peetrable layer is costructed. Ifluece of some parameters o the value of the atteuatio coefficiet of a soud field was studied usig umerical simulatios.
Similar documents
View more...
Search Related
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks