Please download to get full document.

View again

of 32
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.

Е.Е. Корякина ПОВЕРХНОСТИ Учебное пособие

Category:

Books - Non-fiction

Publish on:

Views: 16 | Pages: 32

Extension: PDF | Download: 2

Share
Related documents
Description
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПОВЕРХНОСТИ Учебное пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 564
Transcript
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПОВЕРХНОСТИ Учебное пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 564 ББК В4 К 66 Рассмотрено и утверждено методической комиссией механикоматематического факультета Протокол от «8» января 6 г Председатель комиссии ОП Федорова Корякина ЕЕ К 66 Пространственные и плоские кривые : учеб пособие Томск : Издательский Дом ТГУ 6 с Данное пособие разработано к курсу «Дифференциальная геометрия» для студентов второго и третьего курсов механикоматематического факультета УДК 564 ББК В4 Корякина ЕЕ 6 Томский государственный университет 6 Уравнение поверхности Касательная плоскость Нормальная кривая Гладкой регулярной поверхностью называется отображение : E (область R ) определяемое уравнениями или r r если ) функции функции класса k C ) R Если поверхность не регулярная то те точки в которых условие ) выполняется называются обыкновенными где нарушаются особыми Координаты точки на поверхности называются криволинейными координатами Линии cons cons на поверхности называются координатными линиями Векторы r r r r являются касательными векторами к координатным линиям В обыкновенной точке они линейно независимы Уравнения касательной плоскости и нормальной прямой в обыкновенной точке r имеют вид и R r r r R r rr в векторном виде или и A B C в координатном виде где A B C декартовы координаты Гладкой регулярной поверхностью называется геометрическое место точек декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению нормального вектора N r r A B C F если k ) функции F функции класса C F F F ) gradf Если поверхность не регулярная то точки в которых условие ) выполняется называются обыкновенными где нарушается особенными Уравнения касательной плоскости и нормальной прямой в обыкновенной точке имеют вид 4 5 gradf r R и gradf r R в векторном виде или F F F и F F F в координатном виде В окрестности обыкновенной точки оба способа задания поверхности эквивалентны Криволинейные координаты точки обозначаются так же как v Задачи Напишите параметрические уравнения поверхности образованной касательными к кривой и найдите линии пересечения этой поверхности с плоскость XOY r r Уравнение поверхности образованной касательными к кривой имеет вид R r vr в векторном виде и v v в координатном v Для линии пересечения поверхности с координатной плоскостью XOY имеем v а) Уравнение линии пересечения v Значит первой линией пересечения является ось OX б) v Уравнение линии пересечения в этом случае имеет вид v v Значит определяет параболу 4 Напишите уравнение касательных плоскостей и нормалей для следующих поверхностей: а) cosv sin v av в точке A ; б) v v v в точке B 57 r r а) r cosv sin v av cosvsin sin v cov a v r r a A A a r A Уравнение касательной плоскости 6 a a или a a Отсюда видно что вектор нормали имеет координаты N a Уравнение нормальной прямой имеет вид a a б) r v v v 57 r B значит v v 5 v 7 Откуда получаем что криволинейные координаты равны v r r v v r 4 6 r B B Уравнение касательной плоскости или Отсюда видно что вектор нормали имеет координаты N 8 4 Уравнение нормальной прямой имеет вид Напишите уравнение касательной плоскости и нормали для поверхности в точке A 9 F gradf N gradf A Уравнение касательной плоскости 9 или 8 Уравнение нормальной прямой 9 4 Найдите все нормали поверхности проходящие через начало координат F gradf o Уравнение нормальной прямой 8 9 Чтобы прямая проходила через начало координат а значит параметр соответствующий началу координат должен удовлетворять условию Отсюда получаем и Что дает нам три точки A A A и соответственно три нормали 5 Докажите что все касательные плоскости поверхности f проходят через начало координат ( f дифференцируемая функция) Свободный член в уравнении каждой касательной плоскости должен равняться нулю то есть F F F Проверяем для функции f F f f f f f f Действительно получаем тождество все касательные плоскости имеют свободный член равный нулю а значит проходят через начало координат 6 Докажите что все касательные плоскости поверхности f параллельны некоторой прямой ( f дифференцируемая функция) Плоскость A B C D параллельна некоторой прямой с направляющим вектором a если ее нормаль N A B C перпендикулярна направляющему вектору прямой a то есть a N Нормаль касательной плоскости это вектор F F F N gradf Для нашей функции F f gradf f f Для прямой с направляющим вектором a a f f gradf Значит все касательные плоскости параллельны прямым с таким направляющим вектором 7 Докажите что объем тетраэдра ограниченного координатными плоскостями и касательными плоскостями a поверхности v постоянен v a r v v a v r a r v Уравнение касательной плоскости в произвольной точке поверхности имеет вид v a v a v a v или a v a v a v Точки пересечения с координатными плоскостями A a B v C Значит ребра тетраэдра образованного v касательными и координатными плоскостями равны a соответственно v Объемы таких тетраэдров равны v a 9a V v v Значит объем не зависит от выбора точки в которой проводится касательная плоскость то есть постоянен 8 Доказать что касательная плоскость поверхности образованной касательными к некоторой линии вдоль прямолинейной образующей стационарна Кривую зададим в натуральном параметре и воспользуемся деривационными формулами репера Френе Rs rs rs R R r s r s e ke s R R r s e R R e ke e ke e s N Нормаль к касательной плоскости коллинеарна самой себе вдоль образующей значит касательная плоскость вдоль образующей не меняется 9 Написать уравнение касательной плоскости тора coscos v cossin v sin параллельной плоскости 5 r r coscos v cos sin cos v sin sin v cossin v cos r sin vsin v cos cos v Нормаль r r N имеет координаты i sin cos v sin sin v cossin v coscos v coscosv cos cossin v cos cos cos cos vsin v cos sin j k cos sin v так как cos Эта нормаль должна быть коллинеарна нормали заданной плоскости то есть вектору Отсюда получаем cos v cos sin v cos sin Получаем систему cos v cos sin v cos sin v cos sin Так как cos иначе sin что невозможно получаем gv sin v cos sin gv g Находя и v из этой системы получаем плоскость 4 Задачи для самостоятельного решения Какую поверхность задают данные уравнения c c r v cos v sin v c c c Ответ: однополостной гиперболоид Составить параметрические уравнения эллипсоида и эллиптического параболоида Ответ: a cos cos v bcos sin v c sin уравнение эллипсоида a cos bsin v параболоида уравнение эллиптического Напишите уравнение касательной плоскости и нормали поверхности а) v v в точке 4 ; б) cos cosv cos sin v sin v в точке v 4 Ответ: а) 6 ; 6 4 ; б) ; 4 Напишите уравнение касательной плоскости и нормали поверхности в точке Ответ: 9 ; 5 Найдите уравнение касательной плоскости в произвольной точке прямого геликоида заданного уравнениями cos v sin v av Ответ: a sin v acisv av 6 Составить уравнение нормали к псевдосфере asin cos v asin sin v a lng a cos в произвольной точке и найти орт нормали Ответ: asin cos v cg cos v asin sin cg sin v a ln g a cos n cos covcos sin v sin 7 Составить уравнение касательной плоскости к сфере в точке R Ответ: R 4 Первая квадратичная форма поверхности Пусть задана поверхность r r v r Квадратичная дифференциальная форма поверхности i j I g d d g d gddv g dv ij где g ij r i rj i j называется первой квадратичной формой поверхности Первая квадратичная форма является положительно определенной формой то есть g g g de в обыкновенной точке Первая g g квадратичная форма определяет внутреннюю геометрию поверхности Длина дуги линии на поверхности v v вычисляется по формуле d d dv dv l g g g d d d d d Если две линии пересекаются в некоторой точке Р и имеют в этой точке направления d dv и v то угол между ними определяется формулой i j gig d cos i j i j g d d g ij Площадь замкнутой области D на поверхности вычисляется по формуле S gddv D ij 5 Задачи Найти первую квадратичную форму круглого цилиндра Параметрическое уравнение круглого цилиндра a cos asin v asin a cos o r r a g g g I a d dv r На косом геликоиде cos v sin v v найти угол между линиями v и gv в их общей точке Общая точка этих линий это точка v Вдоль первой линии dv d вдоль второй линии dv cos vd r cos v sin v v r cosvsin r sin v cos v v Касательный вектор к первой линии dr r d r dv cos v sin vd sin v cos v cosv sin vsin v cosv В точке пересечения d r d Касательный вектор ко второй линии cos v sin v cos vd sin v cos vd v sin v cos vsin v cos v cos v r r rv cos cos v В точке пересечения r cos 5 5 d 6 arccos 5 На поверхности с первой квадратичной формой I d dv найти угол между линиями v и v Для данной поверхности имеем g g g Вдоль первой линии линии r r r cos dv d значит r r r d g 4g arccos 5 g 4g 4g g d d 4g 4g Вдоль второй ddv 5 4 Доказать что на поверхности v v v v координатные линии ортогональны Координатные линии это линии cons v cons Их касательные векторы r и r Чтобы координатные линии были ортогональны надо чтобы были ортогональны их касательные векторы то есть g r r r v 6v v r 6v v Перемножаем скалярно Вычисляем 7 r r 8v 8 v v 8 v 8v v 4v Что и требовалось доказать 5 На поверхности с первой квадратичной формой I d sh dv найти длину дуги кривой v между 4 точками P и P v v Для данной поверхности g g g sh 4 Дифференциальное уравнение линии S d d 4 d sh 4 d chd sh sh d dv d sh dv d d d 6 Вычислить площадь четырехугольника лежащего на геликоиде cos v sin v v и ограниченного кривыми v v r cosv sin v v r cosvsin r sin v cos v v g g g g g g g g d d d 8 S ddv sh d arsh d chd arsh ch d arsh ch d arsh sh sh sh arsh 4 arsh ln S ln dv ln 7 Доказать что на прямом геликсоиде cos v sin v av дифференциальное уравнение a dv d определяет ортогональную сеть r cosv sin v av r cosvsin r sin v cos v a v g g g a Дифференциальные уравнения этих линий d a dv a v Подставляем в полярную форму для данной квадратичной d a dvv a dvv a dvv Что и требовалось доказать 9 Задачи для самостоятельного решения Определить первую квадратичную форму f поверхности Ответ: I f d f f dd f d Вычислите первую квадратичную форму для сферы I R d R cos dv Ответ: Докажите что поверхность cos v sin v конус и что линия ln v в каждой своей точке делить пополам угол между координатными линиями 4 На поверхности вычислите угол между линиями cons cons Ответ: arccos 5 На катеноиде ch cos v ch sin v найти угол между линиями v и v в их общей точке Ответ: Вторая квадратичная форма поверхности Для однозначного определения поверхности с точностью до движения и зеркального отображения в пространстве нужно задать еще вторую квадратичную форму Второй квадратичной формой называется дифференциальная форма вида i j d r n bijd d II i где n N единичный вектор нормали поверхности а N r ij n r i n j ri n b ij rij n j j j Нормальной кривизной линии на поверхности называется проекция вектора кривизны кривой на вектор нормали поверхности Нормальные кривизны всех линий идущих через заданную точку в заданном направлении равны и вычисляются по формуле II k n I Наибольшее и наименьшее значение нормальных кривизн называются главными кривизнами k и k Главные нормальные кривизны корни квадратного уравнения b kg b kg b kg b kg Главные направления касательные направления соответствующие главным кривизнам находятся из уравнения d ddv dv g b g b g b Если нормальное сечение поверхности (сечение поверхности плоскостью проходящей через нормаль) образует угол с первым главным направлением то для нормальной кривизны этого сечения имеет место формула Эйлера k n k cos k sin Гауссовой кривизной поверхности называется величина K k k и средней кривизной поверхности называется H k k Формулы вычисления кривизн величина b K g gb gb g b H g b b где b de b b Точка называется эллиптической если K гиперболической если K параболической если K Точки в которых главные направления не определены называются омбилическими Аналитическим условием омбилических точек является отношение g g g b b b Задачи Написать вторую квадратичную форму круглого цилиндра Уравнение круглого цилиндра r R cosv R sin v r r sin cos R v R v r r r R cosv Rsin v N i r r R cos v R sin v R sin v R cosv j k n N cosv sin v N b b II R dv b R Найти нормальную кривизну гиперболического параболоида a b в точке P в направлении d d Введем параметризацию Параметрическое уравнение параболоида имеет вид r v a bv Криволинейные координаты точки при такой параметризации совпадают с первыми двумя декартовыми координатами ( v ) r bv r a g 4a g 4abv g 4b v r r b r a i j k N r r a abv bv n N N 4a a 4bv 4a bv 4bv 4a 4bv a b b 4a 4b v b b 4a 4b v Нормальная кривизна в произвольной точке поверхности в произвольном касательном направлении имеет вид ad bdv k n 4a d 4abvddv 4b v dv 4a 4b v В данной точке и в данном направлении d dv это число равно 8a b k n 4a b 5 5 Найти среднюю и гауссову кривизну поверхности гиперболического параболоида a в точке Введем параметризацию v av При такой параметризации в данной точке ее криволинейные координаты равны нулю ( v ) v av av r a r r g a v g a v g a r r a i j k r r r av av a N a n N N av a v a a a v a a v a 4 a b b b a v a В данной точке g g g g b b b a b a Отсюда в данной точке a K a H Данная поверхность является минимальной H являются гиперболическими K все точки ее 4 Найти гауссову кривизну поверхности образованной касательными к линии r rs Уравнение поверхности (торса) имеет вид Rs rs rs И так как исходная кривая задана в натуральном параметре можно воспользоваться деривационными формулами репера Френе где d e ke r ds s de de ke ds ds e de e ds s кривизна и кручение исходной прямой k R R r r e ke s R r e g k g g g k R ke e k e k ke k ke k e k e R ke R 5 R R ke e ke N n e b k b b b b K g 5 Определить тип точек на поверхности Введем параметризацию r v a 4 b v 4 r 4a r 4b v r a r b v N i r r r 4a 4a 4b v j k 4b v n N 4a 4b v N N b 4 4 a b a b b v 44a b v b b N N N signb signk Значит если точки поверхности эллиптические При или параболические 6 Найдите главные направления и главные кривизны поверхности v v v в точке v 6 r v v v r v r v v В данной точке r r g 9 i j k N r r 4 8 n 5 5 r r r b 5 b 5 b 5 Главные кривизны определяются уравнением 9k k 5 5 k 9k 5 5 или 4 8k k 5 Отсюда k k 5 Главные направления определяются уравнением 7 5 d ddv dv 9 9 или d dv Значит дифференциальные уравнения главных направлений d dv d dv 7 Докажите что гауссова кривизна линейной поверхности не положительна Пусть дана направляющая кривая r r s Линейная поверхность образованная прямыми проходящими через точки кривой имеет уравнение где Rs rs as a s направляющий вектор прямолинейной образующей R R R r s s a s R a s R R r a a r a a N n N R r a R a R 8 R n b R n R n b b b b b b b b b Так как K и определитель первой квадратичной формы g положителен значит гауссова кривизна поверхности как и определитель второй квадратичной формы не положительна а значит эллиптических точек на поверхности нет Задачи для самостоятельного решения Написать вторую квадратичную форму поверхности r cos cos v r sin cosv r sin v Ответ: II r cos v d r dv Доказать что для сферы ее первая квадратичная форма пропорциональна второй Найти главные направления и главные кривизны прямого геликоида cos v sin v av a a Ответ: d a dv a a 4 Определить характер точек на конусе Ответ: параболические 5 Исследовать характер точек на поверхности вращения линии ln вокруг оси OY Ответ: гиперболические 6 Показать что все точки эллипсоида эллиптические 7 Доказать что омбилические точки характеризуются равенством H K 9 ЛИТЕРАТУРА Рашевский ПК Курс дифференциальной геометрии М 956 Норден АП Краткий курс дифференциальной геометрии М 958 Чешкова МА Дифференциальная геометрия Барнаул 994 Сборник задач по дифференциальной геометрии / под ред АС Феденко М 979 Сборник задач и упражнений по дифференциальной геометрии / под ред ВТ Воднева Минск 97 СОДЕРЖАНИЕ Уравнение поверхности Касательная плоскость Нормальная кривая Первая квадратичная форма поверхности 5 Вторая квадратичная форма поверхности Литература Издание подготовлено в авторской редакции Отпечатано на участке цифровой печати Издательского Дома Томского государственного университета Заказ 69 от «4» марта 6 г Тираж 5 экз
Similar documents
View more...
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks